Question

设f(x)=g(x)f(x),f'x=gx

一道大学导数题
设F(x)=g(x)f(x),f(x)在x=a处连续,但不可导,又g'(a)存在,则g(a)=0是F(x)在x=a处可导的_____.
答案是充要条件.
我想问问什么推必要条件时,一定要g(a)=0,
f(a)=0不可以吗?

Answer 1

[F(x)-F(a)]/(x-a)＝[f(x)g(x)-f(a)g(a)]/(x-a)＝f(x)[g(x)-g(a)]/(x-a)＋g(a)[f(x)-f(a)]/(x-a)
由已知条件,x→a时,f(x),[g(x)-g(a)]/(x-a)的极限都存在,但是[f(x)-f(a)]/(x-a)的极限不存在,所以如果g(a)≠0,则[F(x)-F(a)]/(x-a)的极限不存在,即F(x)在x＝a处不可导