Question

已知a>0,b>0,且2a+3b=ab,求a+2b的最小值

Answer 1

解法一：
首先将2a+3b=ab变形，得到ab-2a-3b=0，进一步变形可得a = (3b)/(b-2)，将其代入a+2b中得到：

a+2b = (3b)/(b-2) + 2b = (3b+2b(b-2))/(b-2) = (2b^2-6b+3)/(b-2)

由于a>0，b>0，可得b>2，因此分母b-2为正，只需最小化分子即可。

将2b^2-6b+3视为关于b的二次函数，其导数为4b-6，令其为0可得b=3/2，代入原函数得到a+2b=3/2，故a+2b的最小值为3/2。

解法二：
由于a>0，b>0，可设a=kx，b=ky，其中k>0，x>0，y>0，代入2a+3b=ab得到：

2kx+3ky=k^2xy

移项并整理得到：

2x/k+3y/k^2=xy

将左式视为关于x的函数，右式视为关于y的函数，可用拉格朗日乘子法求解局部极值。具体地，设J(x,y)=x+2y为目标函数，F(x,y)=2x/k+3y/k^2-xy为约束条件，构造拉格朗日函数L=J(x,y)-λF(x,y)，其中λ为拉格朗日乘子。

对L分别对x,y求偏导，令其为0，可得：

1-λy = 0 (1)

2/k-λx = 0 (2)

解得x=k/2λ，y=1/λ，代入约束条件得到λ=±√(2/k)，由于k>0，因此λ=√(2/k)。

代入目标函数得到a+2b=kx+2ky=3√(k/2)，最小值为3/2。

Answer 2

方法一：
a>0,b>0,且
2a+3b＝ab→a＝3b/(b-2).
∴a+2b
＝3b/(b-2)+2b
＝2(b-2)+6/(b-2)+7
≥2√[2(b-2)·6/(b-2)]+7
＝4√3+7.
故所求最小值为：4√3+7.
方法二：
2a+3b＝ab
→1＝3/a+2/b
＝(√3)^2/a+2^2/(2b)
≥(√3+2)^2/(a+2b),
∴a+2b≥(√3+2)^2＝7+4√3.
故所求最小值为：7+4√3。