Question

下列不等式①已知a＞0，b＞0，则(a+b)(1a+1b)≥4；②a2+b2+3...

下列不等式 ①已知a＞0，b＞0，则(a+b)(1a+1b)≥4； ②a2+b2+3＞2a+2b； ③已知m＞0，则ba＜b+ma+m； ④a-1+a+1＜2a(a＞1)． 其中恒成立的是_____．（把所有成立不等式的序号都填上）

Answer 1

解：选项①∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2ba•ab=4，
当且仅当a=b时取等号，故(a+b)(1a+1b)≥4成立；
选项②，∵a2+b2+3-（2a+2b）=a2-2a+1+b2-2b+1+1=（a-1）2+（b-1）2+1≥1
∴a2+b2+3＞2a+2b恒成立；
选项③，∵ba-b+ma+m=b(a+m)-a(b+m)a(a+m)=m(b-a)a(a+m)，∴当a=b时，式子为0，
故ba＜b+ma+m不一定成立；
选项④，∵a＞1，∴（a-1+a+1）2-（2a）2=a-1+a+1+2a2-1-4a=2（a2-1-a）
而a2-1-a＜0，因为a2-1-a2=-1＜0，故a-1+a+1＜2a成立．
故答案为：①②④