Question

如图,四边形oabc是矩形,点a的坐标为(0,0)

如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 交折线OAB于点E. （1）记 的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形 ，DE= ，试探究四边形 与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。

Answer 1

（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝ ； 若直线经过点B（3，1）时，则b＝ ； 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1。 ①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤ ，如图1 此时E（2b，0） ∴S＝ OE×CO＝ ×2b×1＝b ②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 ＜b＜ ，如图2 此时E（3， ），D（2b－2，1） ∴S＝ ＝ 3－[ (2b－1)×1＋ ×(5－2b)·( )＋ ×3( )] ＝ ∴ （2）如图3，设O 1 A 1 与CB相交于点M，OA与C 1 B 1 相交于点N，则矩形OA 1 B 1 C 1 与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。 由题意知，DM∥NE，DN∥ME， ∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED， ∴∠MED＝∠MDE， ∴MD＝ME， ∴平行四边形DNEM为菱形． 过点D作DH⊥OA，垂足为H， 由题易知，DE= ，DH＝1，∴HE＝2，设菱形DNEM 的边长为a， 则在Rt△DHM中，由勾股定理知： ，∴ ∴ ＝NE·DH＝ ∴矩形OA 1 B 1 C 1 与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 ．