Question

高二函数的极值与最值

1.求函数y=㏑(x+1)-1/4x^2在[0,2]的最大值和最小值 2.函数y=x^3-3ax^2-24xa^2+b的极大值为正,极小值为负,二者之差为4. (1)求实数a的值 (2)求实数b的取值范围 要过程

Answer 1

1.求函数y=㏑(x+1)-1/4x^2在[0,2]的最大值和最小值
解:在[0,2]上ln(x+1)单调递增，-1/4x^2单调递增，所以函数y=㏑(x+1)-1/4x^2在[0,2]单调递增。
或者对函数求导得y'=1/(1+x)+1/(2x^2),y'在[0,2]上恒正，即y在[0,2]上单调递增。
所以函数无最小值(为负无穷)，最大值为ln3-1/16.
2.函数y=x^3-3ax^2-24xa^2+b的极大值为正,极小值为负,二者之差为4.
(1)求实数a的值
(2)求实数b的取值范围
解:
对函数求导得:y'=3x^2-6ax-24a^2=(x+2a)(3x-12a).
所以函数在x=-2a取得极小值，x=4a处取得极大值，或者x=4a取得极小值，x=-2a取得极大值。
把x=-2a代入得y1=28a^3+b;把x=4a代入得y2=-80a^3+b
|y1-y2|=108|a^3|=4,a=3或-3.
当a=3时，y1=756+b,为最大值;y2=-2160+b，为最小值。
由题目知道:
y1>0,y2<0，所以-756<b<2160;
当a=-3时，y1=-756+b,为最小值;y2=2160+b，为最大值。
y1<0,y2>0,所以-2160<b<756;