Question

求曲线方程的几种常见方法

Answer 1

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质就是利用题设中的已知条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系。

这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是一大难点。

下面我们就用一道例题，来感受分析不同方法的异同。

【经典例题】

由圆x²+y²=9外一点P(5,12)引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

【方法一：直接法】

根据题设条件列出几何等式，从而求出曲线方程。

这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点垂直于弦，可得下面解法。



【方法二：定义法】

判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。

这里我们可以得出垂直关系，在解析几何中，“垂直意味着圆”，这是需要各位有效积累的。



【方法三：交轨法】

将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。

在本题中，因为动点M可看作直线OM与PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。



【方法四：点差法】

设而不求，代点运算，这是点差法的精髓。通过中点公式联系起来，点差法通常是涉及弦中点问题的重要解题法宝。

根据共点的斜率相等，可求得轨迹方程。






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