Question

两道不定积分题目？

需要解答过程跟思路，求大佬们帮忙，老弟是绞尽脑汁也没想明白

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

5)
用分部积分两次可得。
原积分 = I
= -(1/2) ∫e^3x d cos2x
= -(1/2)e^3x cos2x + (1/2)∫cos2x 3e^3x dx
= -(1/2)e^3x cos2x + (1/4)∫ 3e^3x dsin2x
= -(1/2)e^3x cos2x + (3/4)e^3x sin2x - (3/4)∫ sin2x 3e^3x dx
= -(1/2)e^3x cos2x + (3/4)e^3x sin2x - (9/4)I
移项解出：I = （4/13)[-(1/2)e^3x cos2x + (3/4)e^3x sin2x] + c

6)
a) 原积分 = ∫x^n de^x = x^n e^x - ∫e^x nx^(n-1) dx
b) 原积分 = x^4 e^x - 4x^3 e^x + 12x^2 e^x - 24x e^x + 24e^x + c

Answer 3

(5)

∫ e^(3x) sin(2x) dx

=(1/3)∫ sin(2x) de^(3x)

分部积分 ∫udv =uv -∫vdu

=(1/3)e^(3x).sin(2x) -(2/3)∫ e^(3x).cos(2x)dx

=(1/3)e^(3x).sin(2x) -(2/9)∫ cos(2x) de^(3x)

再次利用分部积分 ∫udv =uv -∫vdu

=(1/3)e^(3x).sin(2x) -(2/9)e^(3x).cos(2x) -(4/9)∫ e^(3x).sin(2x) dx

把(4/9)∫ e^(3x).sin(2x) dx 调到 等式的另一边

(13/9)∫ e^(3x) sin(2x) dx =(1/3)e^(3x).sin(2x) -(2/9)e^(3x).cos(2x)

∫ e^(3x) sin(2x) dx =(9/13)[(1/3)e^(3x).sin(2x) -(2/9)e^(3x).cos(2x)] +C

(6)

(a)

∫ x^n.e^x dx

=∫ x^n de^x 

分部积分 ∫udv =uv -∫vdu

=x^n.e^x  -n∫ x^(n-1).e^x dx

得出结果

∫ x^n.e^x dx =x^n.e^x  -n∫ x^(n-1).e^x dx

(b)

∫x^4. e^x dx

由（a) 可得出

=x^4.e^x  -4∫ x^3.e^x dx

由（a) 可得出

=x^4.e^x  -4x^3.e^x +12∫ x^2.e^x dx

=x^4.e^x  -4x^3.e^x +12x^2.e^x -24∫ x.e^x dx

=x^4.e^x  -4x^3.e^x +12x^2.e^x -24x.e^x +24∫ e^x dx

=x^4.e^x  -4x^3.e^x +12x^2.e^x -24x.e^x +24e^x +C

Answer 4

详细的过程全都写出来了

Answer 5

解答与思路说明