Question

若点P是椭圆x²/9+y²/5=1上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，求PM的中点轨迹方程。

如题如图，这道题我做对了吗？如果不对请指正并写出求解过程，如果对了那么最后一步需要化简么？

Answer 1

您的解题过程是一个猜想，而非常规操作。仅限于无奈或小题猜想。

求轨迹方程的常规思路是:

设已知函数（或方程）上的主动点为（x0，y0），这个点的坐标适合函数（或方程）的解析式。

再设所求点为（x，y），根据题设求出两个坐标之间的等量关系，

解出x0、y0（用x、y表示）代入相关解析式，得到关于x、y的关系式，

最后整理即可。

详情如图所示:

供参考，请笑纳。

Answer 2

椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1，则所求中点轨迹只须将 b 缩小为原来的一半

Answer 3

解：∵点P是椭圆x^2／9＋y^2／5＝1，∴a＝3，b＝√5；
∴该椭圆参数方程是x＝acos乄＝3cos乄，y＝bsin乄＝sin乄√5；
设P点坐标为（3cos乄1，√5sin乄1），过点P坐x轴垂线，垂足M点是（3cos乄1，0）。
∴PM中点坐标是（3cos乄1，√5sin乄1／2）即中点的横坐标是x＝3cos乄1，纵坐标是y＝√5sin乄1／2；
∴cos乄1＝x／3，sin乄1＝2y／√5
∵（cos乄1）^2+（sin乄1）^2＝1
∴PM中点轨迹方程x^2／9＋4y^2／5＝1

Answer 4

首先，恭喜你！你的推测是对的！

其次，你的结果也是对的，可以不用继续化简。

不过，最好不要用推测这种方式，而应该基于严谨的数学推导来解此题！具体如下

Answer 5

首先肯定你的答案是对的。
但在做的过程中用猜想推测的方法来做，那就不太合适了。除非是选择填空题可以这样做。如果是大题一般不这样做。
比较合理的方法是：
设PM的中点坐标为Q（x,y）
则点P的坐标为P(x,2y)
因为点P在椭圆上，
所以x²/9+(2y)²/5=1
即x²/9+y²/(5/4)=1
这就是PM中点轨迹方程。