Question

这道数学题怎么做（排列组合）？

Answer 1

主要运用插板法：

① x+y+z=8，求xyz的正整数解组数。

答： C(7, 2) = 21

等价于八个小球排成一列，将其分为三堆。在小球缝隙中插入两块板子，不能放在两端，这样就分成三组，每组小球的数量，就对应xyz的解。

② 求，非负整数解：

答：C(10, 2) = 45

与第一题不同，xyz可以取零值，很多同学会理所当然地写C(9, 2)，认为把端点算上就行了。但需要考虑到，xyz均可取零值，C(9, 2)忽略了x=0，y=0，c=0的情况。因此我们做一步变换：

      x+y+z=8     ⇔    (x+1) + (y+1) + (z+1) = 11

这样就变回了第一题，三个正整数和为11的情况。

③ 求，x+y+z <= 8 的非负整数解：

答：C(11, 3) = 165

这题很难啊，但有了前两问的铺垫，就非常简单了。

显然，当xyz满足题设时，存在 ξ = 8-x-y-z，ξ 为非负整数。∴  x+y+z+ξ = 8

这就转化为了第②题，求四个数和为8的非负整数解的组数。

Answer 2