Question

用配方法解二元一次方程

用配方法证明：对于任意实数m,n,代数式m^2+10n^2-6mn-8n+20的值总不小于4

Answer 1

m^2+10n^2-6mn-8n+20
=(m-3n)²+n²-8n+20
=(m-3n)²+(n-4)²+4
(m-3n)²≥0,(n-4)²≥0
所以m^2+10n^2-6mn-8n+20≥4

Answer 2

20=16+4
10n²=9n²+n²
所以原式=(m²-6mn+9n²)+(n²-8n+16)+4
=(m-3n)²+(n-4)²+4
平方数大于等于0
所以(m-3n)²+(n-4)²≥0
所以(m-3n)²+(n-4)²+4≥4
所以m^2+10n^2-6mn-8n+20的值总不小于4

Answer 3

二元一次方程的一般式是：ax²+bx+c=0，其中：a＞0
（若所给方程a＜0，等号两边简单的乘以-1，即可使a＞0）
有：
ax²+bx+c=0
x²+(b/a)x+c/a=0
x²+2×[b/(2a)]x+c/a=0
x²+2×[b/(2a)]x+[b/(2a)]²-[b/(2a)]²+c/a=0
x²+2×[b/(2a)]x+[b/(2a)]²=[b/(2a)]²-c/a
[x+b/(2a)]²=b²/(2a)²-4ac/(2a)²
[x+b/(2a)]²=(b²-4ac)/(2a)²
1、当b²-4ac≥0时，有：
x+b/(2a)=±√[(b²-4ac)/(2a)²]
x+b/(2a)=±[√(b²-4ac)]/(2a)
x=-b/(2a)±[√(b²-4ac)]/(2a)
x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)
2、当b²-4ac＜0时，有：
[x+b/(2a)]²＜0
显然，在实数范围内，这是不可能的。
故：此时方程无实数根。

Answer 4

原式=m^2-6mn+9n^2+n^2-8n+16+4
=(m-3n)^2+(n-4)^2+4
因为(m-3n)^2大于等于0
(n-4)^2大于等于0
所以原式不小于4

Answer 5

m^2+10n^2-6mn-8n+20
=(m-3n)²+n²-8n+20
=(m-3n)²+(n-4)²+4
(m-3n)²≥0,(n-4)²≥0
所以m^2+10n^2-6mn-8n+20≥4