Question

单调有界原理是什么？

Answer 1

若数列单调递增有上界，或单调递减有下界，则数列必存在极限。对于递推类的数列经常使用这一原则求极限（所谓递推数列就是后一项是可以由前一项通过式子推出来的），在使用这个原则时一般包括两个步骤：

1、证明数列有界(数学归纳法)，单调；

2、假设数列极限为A，通过递推式两端求极限建立关于A的方程，从而求出极限A。

试通过单调有界定理证明确界原理。

解：不妨设数集S非空有上界，将所有不小于S中的任一元素的有理数排成一个数列{rn}，并令{xn}=min{r1,r2,r3...rn}。为更直观理解{xn}，举例如下：

设S=[1,2]。第一次，取r1=3，则x1=min{3}=3。第二次，取r2=5，则x2=min{3,5}=3。第三次，取r3=2.5，则x3=min{3,5,2.5}=2.5。第四次，取r4=2.2，则x4=min{3,5,2.5,2.2}=2.2……以此类推。

显然{xn}单调递减并且有下界（S中任何元素都是{xn}的下界），因此{xn}收敛。设极限为η，并且由上述构造可知，η≤xn≤rn。