1/(sinx+cosx)的不定积分是多少?
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具体回答如下:
∫1/(sinx+cosx) dx。
=∫1/[√2(sinxcosπ/4+sinπ/4·cosx)]dx。
=∫1/[√2sin(x+π/4)] dx。
=√2/2 ∫csc(x+π/4) d(x+π/4)。
=√2/2 ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+C。
不定积分的意义:
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I,G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数,所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数,因此,当C为任意常数时,表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
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