Question

一道积分问题

求ln(a^2*(sinx)^2+b^2*(cosx)^2)dx的积分（x=0..PI/2）

出自华师大的《数学分析》（下册） P178 4(1)

Answer 1

设I(y) = ∫ln(y^2*(sinx)^2+b^2*(cosx)^2)dx (x = 0...pi/2)

I(b) = ∫ln(b^2)dx = pi*ln(b)

I'(y) = ∫2ysin^2x/(y^2sin^2x+b^2cos^2x)dx

（令u = tanx）

......

算出I'(a)然后在利用I(a) = ∫I'(y)dy(y=b...a) + I(b)

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话说我们当初根本没讲含参变量积分||-_-

Answer 2

第一题：运用牛顿莱伯尼兹公式的条件是被积函数要在积分区间连续，这两个我没判断啊~
第二题：等价无穷小就是两个函数的比值，当X趋近于0的时候极限值等于一，写出来之后运用一边洛必达法则就能求出来k=1

Answer 3

你是大学的吧，我才初三，很高兴看到你的问题！！

Answer 4

第一题：函数本身不是简单的初等函数，即使函数连续也不好算，最好用分部积分法，可能要用多次。
第二题：x~0时In（1+x^k)=x^k，而x+x^1/3~x^1/3，所以k=1/3.