Question

在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且(b^2-a^2-c^2)/ac=cos(A+C)/sinAcosA

在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且(b^2-a^2- c^2)/ac=cos(A+C)/sinAcosA

若sinB/cosC>根号2，求角C的取值范围

Answer 1

由余弦定理得，
b²-a²-c²=-2ac·cosB
∴(b²-a²-c²)/(ac)=-2cosB
∴-2cosB=cos(A+C)/(sinAcosA)
由于A+B+C=π
∴cosB=-cos(A+C)
∴-2cosB=2cos(A+C)
∴2cos(A+C)=cos(A+C)/(sinAcosA)
∴1/2sin(2A)=1/2
即sin(2A)=1
∴A=π/4
∴ B+C=π-A=3π/4
∴ B=3π/4-C
sinB/cosC>√2
sin(3π/4-C)/cosC>√2
sin(3π/4-C)>√2 cosC
sin(C+π/4)>√2 cosC
√2 sin(C+π/4)>2 cosC
sinC+cosC>2cosC
sinC>cosC
tanC>1
所以
π/4<C<π/2

Answer 2

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