排列组合解题技巧
1、分类与分步法
在解答题目中含有限定条件这一类排列组合问题时,我们应该先将题目中所提到的元素按照其特性进行分类,然后按照事件的先后顺序对题目进行分步解答,同时保证每一步都是相对独立,不要算重或漏算。在最后的计算过程中要注意计算法则分类则和,分步则积。
例如:有五个苹果排成一排,其中甲苹果不能排在排头,乙苹果不能排在末尾,问共有几种排法?分析:根据题意我们可以先排甲,对甲的位置进行讨论:
1)若将甲苹果排在末尾,那么剩下四个苹果就可以任意排了,共有A 种排法;
2)若将甲苹果排在第二,第三或第四个位置上,则有A A A 3种排法,然后根据排列组合中分类计数原理,将所有结果进行相加,共有A +A A A =78种排法。
2、特殊元素优先考虑发
在一道排列组合题目中如果含有某个特殊元素,一般我们应优先考虑特殊元素,从特殊元素着手,然后再考虑其它元素的排列组合问题。例如有五张卡片,卡片上依次标注的数字为0,2,3,4,5,选择三张卡片组成一个三位数,问组成的三位数中有多少是偶数?
分析:根据题意要求组成的这个三位数是偶数,所以最后一个数字一定要是偶数,只能是0或2或4,又因为0不能排在首位,所以本题中0就是特殊元素,应优先考虑。根据0排放的位置我们将0分成两类,:
1)0排末尾时有A 个;
2)0不排在末尾时,则有个A A A ;根据分类计数的原理,总共有A +A A A =30个。
3、混合问题先选后排法
对于排列组合中混合类的问题,我们一般可以先将所需的元素选出来然后再对元素进行排列组合。例如4个不同小球滚入四个不同的小洞中,正好有一个空洞,问小球共有多少种滚法?分析:题目中提到正好一空的洞,所以肯定有一个洞中滚入了两个小球。
首先我们先将2个小球选出来,从4个中选2个,共有C 种选法;接下来在从4小洞中选3个洞来装小球,共有C 种选法;然后把选出来的的2个小球看成是一个小球,这样就变成了3个小球,3个球滚入3个洞中共有A 种滚法,再根据分步计数的原理共有C C A 种滚法。
4、否定问题淘汰法
对于排列组合中含有否定意思的问题,可以从整体中把不符合条件的去除,但需要注意的时一定要细心,不能除去多了或者少了。
例如在方法2中的例题,就可以用此种方法来解答:5张卡片排成三位数,共有A 种排法,但0不能排在首位,所以需要去除这种情况;而且因为是偶数所以3、5不能排在最后一位,所以也要去除。故共有A -A -A A A =30。
5、相邻捆绑法,相隔插空法
在解答几个元素相邻的排列组合问题时,我们应先从整体进行考虑,将题目中要求相邻的元素捆绑成一个元素进行排列组合,然后在对捆绑的部分进行排序,这种解题的方法就叫捆绑法。例如有8本不同的书;包括3语文书,2本化学书和3本其它学科的书籍。把这些书排成一行,但要3本语文书必须排在一起,2本化学书也必须排在一起的排法共有多少种?
分析:首先把3本语文书看成一个整体,2本化学书看成一个整体,这样加上其他3本书,就相当于5个元素,全排列共有A 种排法;3本语文书有A 种排法,2本化学书有A 种排法;然后根据分步计数原理共有A A A =1440种排法。