Question

设A.B.C∈R,求证(A+B+C)²≥3(AB+BC+CA)

设A.B.C∈R,求证(A+B+C)²≥3(AB+BC+CA)
已知A+B+C=1,求证A²+B²+C²≥1/3

Answer 1

设A.B.C∈R,求证(A+B+C)²≥3(AB+BC+CA)
证明：
左边=(A+B+C)²=A²+B²+C²+2AB+2BC+2CA
=(1/2)[(A²+B²)+(B²+C²)+(A²+C²)]+2AB+2BC+2CA
≥(1/2)[2AB+2BC+2CA]+2AB+2BC+2CA
=3(AB+BC+CA)
=右边
得证！

已知A+B+C=1,求证A²+B²+C²≥1/3
证明：
因为3(A²+B²+C²)-(A+B+C)²
=2A²+2B²+2C²-2AB-2BC-2CA
=(A-B)²+(B-C)²+(C-A)²
≥0
所以3(A²+B²+C²)-(A+B+C)²≥0
所以3(A²+B²+C²)≥(A+B+C)²=1
所以A²+B²+C²≥1/3
得证！