Question

第二张图中画蓝色波浪线的地方，如何知道A又有一个单特征值λ=0，并且与已知的基础解系α对应呢？

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Answer 1

因为Ax=0有非零解α，说明|A|=0，否则r(A)=3，Ax=0只有零解
那么|0·E-A|=|-A|=(-1)³|A|=0，可见λ=0为特征值，Ax=λx=0的解α即为对应的一个特征向量
也可从定义出发：
若有数λ和列向量x满足Ax=λx，则λ为A的特征值，x为对应的特征向量
由于α为Ax=0的一个基础解，即存在λ=0满足Aα=0=λα
直接可以看出来存在λ=0的特征值，对应的一个特征向量为α
最后因为A为3阶矩阵，只有3个特征值，已经得到了2重特征值λ=2,
那么剩下的λ=0一定是单特征值

追问

如何知道Ax=0有非零解α呢？

追答

这里的α表示图中的α₃=[0,1,-1]ᵀ，可能写得不够严谨