任一n维向量可以由n维向量组α1.α2.…αn线性表出.证明α1.α2.…α
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是证线性无关吧!
证明:由已知任一n维向量可以由n维向量组α1,α2,…,αn线性表出
所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn 可由α1,α2,…,αn线性表出.
而任一n维向量可由ε1,ε2,...,εn线性表示
所以向量组ε1,ε2,...,εn与α1,α2,…,αn等价.
所以 r(α1,α2,…,αn)=r(ε1,ε2,...,εn)=n.
所以 α1,α2,…,αn 线性无关.
证明:由已知任一n维向量可以由n维向量组α1,α2,…,αn线性表出
所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn 可由α1,α2,…,αn线性表出.
而任一n维向量可由ε1,ε2,...,εn线性表示
所以向量组ε1,ε2,...,εn与α1,α2,…,αn等价.
所以 r(α1,α2,…,αn)=r(ε1,ε2,...,εn)=n.
所以 α1,α2,…,αn 线性无关.
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