Question

已知正方形ABCD,E为BC的中点,F为AE上一点,DF=DA,求证:BF垂直于AE

Answer 1

证明：作DG垂直于AE垂足为G,连结BD交AE于点O.
因为. 四边形ABCD是正方形,DG垂直于AE,
所以. 角BAE十角DAE=90度,角ADG十角DAE=90度,
所以. 角BAE=角ADG,
又. 角ABE=角AGD=90度,
所以. 三角形AEB相似于三角形DAG,
所以. AB比BE=DG比AG,
因为. 四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,
所以. AB比BE=2比1,DO比OB=AD比BE=2比1,

因为. DF=DA,DG垂直于AE,
所以. AG=GF,AF比AG=2比1,
所以. AF=DG,
又因为. AB=AD,角BAE=角ADG,
所以. 三角形ABF全等于三角形ADG,
所以. 角AFB=角AGD=90度,
所以. BF垂直于AE.