Question

如图，已知△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°

（1）求证△ACF∽△BEC
（2）设△ABC的面积为S，求：AF*BF=2S
（3）试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明

Answer 1

（1） 由∠ACF=∠ACE+∠ECF=∠ACE+45°、∠BEC=∠ACE+∠A=∠ACE+45°得∠ACF=∠BEC，另有∠A=∠B，证得△ACF∽△BEC。
（2）题目有误，应为AF*BE=2S。
已证△ACF∽△BEC，则AF/AC=BC/BE,得AF*BE=AC*BC=2S。
（3）以线段AE、EF、FB为边的三角形为直角三角形。证明如下：
已知△ABC为直角等腰三角形，则AB²=2AC²,已证AF*BE=AC²，
故：AB²=2AF*BE，
即：(AE+EF+FB)²=2(AE+EF)(EF+FB)，
化开：AE²+EF²+FB²+2(AE*EF+AE*FB+EF*FB)=2(AE*EF+AE*FB+EF*FB)+2EF²
得：AE²+FB²=EF²，所以该三线段构成直角三角形。

Answer 2

1.
证角BCE=∠ACF=90°-∠BCF
2.
由相似证AF*BF=AC *BC
3.将△CAE绕C顺时针旋转90°.....给提示，不懂加百度HI

Answer 3

(1) AB=BC则角A=B=45°,角ACF=90°-角BCF,角BEC=180°-角B-角BCE=180°-角B-角ECF-角BCF=90°-角BCF=角ACF,所以△ACF相似于△BEC,
(2) 1）知△ACF相似于△BEC,AC/AF=BE/BC,所以AF*BE=AC*BC=2s
（3） AE、EF、FB为边的三角形为直角三角形。证明如下：
已知△ABC为直角等腰三角形，则AB²=2AC²,已证AF*BE=AC²，
故：AB²=2AF*BE，
即：(AE+EF+FB)²=2(AE+EF)(EF+FB)，
化开：AE²+EF²+FB²+2(AE*EF+AE*FB+EF*FB)=2(AE*EF+AE*FB+EF*FB)+2EF²
得：AE²+FB²=EF²，所以该三线段构成直角三角形。

Answer 4

楼上和这个是我的
1) AB=BC则角A=B=45°,角ACF=90°-角BCF,角BEC=180°-角B-角BCE=180°-角B-角ECF-角BCF=90°-角BCF=角ACF,所以△ACF相似于△BEC,
(2) 1）知△ACF相似于△BEC,AC/AF=BE/BC,所以AF*BE=AC*BC=2s
（3） AE、EF、FB为边的三角形为直角三角形。证明如下：
已知△ABC为直角等腰三角形，则AB²=2AC²,已证AF*BE=AC²，
故：AB²=2AF*BE，
即：(AE+EF+FB)²=2(AE+EF)(EF+FB)，
化开：AE²+EF²+FB²+2(AE*EF+AE*FB+EF*FB)=2(AE*EF+AE*FB+EF*FB)+2EF²
得：AE²+FB²=EF²，所以该三线段构成直角三角形。