Question

可以给我讲一下换元法的具体应用吧

Answer 1

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.　　换元的种类有：等参量换元、非等量换元
（一） 代数换元法
例 解方程 —=1
解 ：令=t ( t0 )
则=1+t
于是有：
(1)-(2) 得：t = 2 代入（2）得：
2x2-3x-2 = 0 解之得：x1 = 2,x2 = -
经检验知：x1 = 2和 x2 = -均为原方程的解.
例2 求证：（ ）
证明：令 y = 则：x2+2 = y2+1
从而原式 =
所以
小结：例1小结：通过换元避免了常规解法中两次平方的复杂运算,使问题更加容易解决.此曰：代数换元法.例2通过换元使问题更加明朗.再用均值证明不等式.
例3求函数y = sinxcosx + sinx + cosx的值域
令 t = sinx + cosx = sin(x+)
则 t[]
而 sinxcosx = [(sinx+cosx)2-1] =(t2-1)
所以y =(t2-1)+t =(t+1)2-1
当t = -1时,ymin = -1
当t =时,ymax =+
故函数的值域为 [-1,+] .
（二）常量换元法
例4 已知f(x) = 2x5+3x3-x2-4x+12,求f(1-)的值.
设1-= x 则x2+2x-1 = 0
∵ 2x5+3x3-x2-4x+12 = (2x3-4x2+13x-31)(x2+2x-1)+
71x-19
= 71x-19
∴ f(1-) = 71(1-)-19
= 52-71
小结：利用常量换元法构造零因子,使计算量大大减小.充分体现常量换元法在解题中的精妙作用.
问题推广：
例5已知f(x-3) = 2x2+5x-6,求f(x)的解析式.
令x-3 = t 则x = t+3
把x = t+3代入f(x-3) = 2x2+5x-6 得：
f(t) = 2(t+3)2+5(t+3)-6
= 2t2+17t+27
所以 f(x) = 2x2+17t+27
小结：常量换元法是求函数解析式的常见方法.
（三）比例换元法
例6 若== 求证：
sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0
证明:设===
则x=Rtan(θ+α) y=Rtan(θ+β) z=Rtan(θ+γ)
sin2(α-β)= 〔cos2(θ+β)-cos2(θ+α)〕
sin2(β-γ)= 〔cos2(θ+γ)-cos2(θ+β)〕
sin2(γ-α)= 〔cos2(θ+α)-cos2(θ+γ)〕
将上述三式相加得：
sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0
小结：注意题型结构特点,类似比例式子,利用适当换元,通过三角运算,使问题化繁为简,更容易解决.
（四）标准量换元法
例7设a1,a2 ,a3,…,a2004均为实数,
若a1+a2+a3+…+a2004=2004 …… (1)
…… (2)
求证：=2004
证明：令a1=1+m1,a2=1+m2,a3=1+m3 ,…,a2004=1+m2004
由（1）式可得：
m1+m2+m3+…+m2004=0 …… (3)
由（2）式可得
(1+m1)2+(1+m2)2+(1+m3)2+…+(1+m2004)2=2004
将其展开并将（3）代入,化简得：
=0
故:
m1=m2=m3=m2004=0
即:
a1=a2=a3=…=a2004=1
所以：
小结：例中选“1”作为“标准量”,把a1,a2 ,a3 …a2004都用“1”和辅助量m1,m2,m3,…,m2004表示.此种方法为“标准量换元法”.
（五）三角换元法
例8（1）以知x>0,y>0,且,求x+y的最小值
（2）解不等式：
（1）设=cos2θ,sin2θ （0