高等代数理论基础60：矩阵的有理标准形
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定义：对数域P上的一个多项式 ,矩阵
称为 的友矩阵
易证, 的不变因子为
定义：准对角矩阵
其中 分别为数域P上某些多项式 的友矩阵,且满足 ,则称 为P上的一个有理标准形矩阵
引理： 的不变因子为 ,其中1的个数等于 的次数之和n减去s
证明：
定理：数域P上 方阵A在P上相似于唯一的一个有理标准形,称为A的有理标准形
证明：
定理：设 是数域P上n维线性空间的线性变换,则在V中存在一组基,使 在该组基下的矩阵是有理标准形,且由 唯一确定,称为 的有理标准形
例： 矩阵A的初等因子为 , ,则它的不变因子是, ,它的有理标准形为
称为 的友矩阵
易证, 的不变因子为
定义：准对角矩阵
其中 分别为数域P上某些多项式 的友矩阵,且满足 ,则称 为P上的一个有理标准形矩阵
引理： 的不变因子为 ,其中1的个数等于 的次数之和n减去s
证明：
定理：数域P上 方阵A在P上相似于唯一的一个有理标准形,称为A的有理标准形
证明：
定理：设 是数域P上n维线性空间的线性变换,则在V中存在一组基,使 在该组基下的矩阵是有理标准形,且由 唯一确定,称为 的有理标准形
例： 矩阵A的初等因子为 , ,则它的不变因子是, ,它的有理标准形为
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