Question

已知数列｛an}满足a1=1，an=1/a(n-1)+1(n≥2),求｛an}的通项公式。

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

An=[A(n-1)+1]/A(n-1)
A1=1=1/1
A2=(1+1)/1=2/1
A3=(2+1)/2=3/2
A4=(3/2+1)/(3/2)=(3+2)/3=5/3
A5=(5/3+1)/(5/3)=8/5
从第3项开始，An=a/b中,分子a是A(n-1)的分子分母之和，b是A(n-2)的分子分母之和。
a和b都是菲波那契数列：1,1,2,3,5,8,13...每一项都是前两项的和，只不过a,b错开了一个。
菲波那契数列Fn的通项公式为：Fn={[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5. （注：√5表示根号5）

这样
a=F(n+1)={[（1＋√5）/2]^(n+1) － [（1－√5）/2]^(n+1) }/√5.
b=Fn={[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5.
因此An=a/b
=F(n+1)/Fn
={[（1＋√5）/2]^(n+1) － [（1－√5）/2]^(n+1) }/{[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }

An的具体证明如下，用数学归纳法，对于A1，A2验证成立。
假设对所有n<=k均成立。由假设Ak=F(k+1)/Fk
当n=k+1时，
A(k+1)=(Ak+1)/Ak
=[F(k+1)/Fk+1]/[F(k+1)/Fk]
=[(F(k+1)+F(k))/Fk][F(k+1)/Fk]
由菲波那契数列的性质，F(k+1)+F(k)=F(k+2)
因此
A(k+1)
=[F(k+2)/Fk]/[F(k+1)/Fk]
=F(k+2)/F(k+1)
对n=k+1也成立。综上，对所有n属于N*都成立
证毕