Question

函数概念的历史

Answer 1

1.早期历史

函数概念的早期演变过程为：开始，x的函数仅只x的幂；接着，其涵义被拓广为含x的代数式；之后，又从代数式拓广到含x的任意解析式；最后，从任意解析式拓广为依赖于x或由x所确定的任意变量。同时，一元函数又被拓广到了多元函数。

2.从约翰·伯努利到欧拉

1694年，约翰·伯努利提到函数是“由不定的量和常量所构成的某个量”。1718年，他首次明确提出函数的新定义：“一个变量的函数是由该变量和一些常量以任何方式组成的量。”

欧拉在约翰·伯努利的定义基础之上，在《无穷分析引论》中首次用解析式来定义函数：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。”

1755年，欧拉在《微分基础》中更新了函数的定义：“如果某些量依赖于另一些量，当后面这些量变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的量称为后面的量的函数。”

欧拉的“解析式”定义和“依赖关系”定义对后世产生了深远的影响，19世纪中叶以前，它们一直是函数定义的蓝本。

3.百科全书中的函数定义

1757～1838年的欧美百科全书或数学词典中，函数的解析式定义占有绝对统治地位。虽然欧拉已经定义了“代数函数”和“超越函数”，但各百科全书的有关作者并没有相应的区分“代数式”和“超越式”，将“代数式”与一般“解析式”混为一谈。只有德摩根对两者进行了严格区分，他将我们今天所称的代数函数称为“普通代数函数”，其他函数均为超越函数。

4.函数定义演变过程（1855年以前）结论

（1）欧拉的“依赖关系”定义并未影响“解析式”定义的广泛传播。19世纪中叶以前，英、法、美等国的百科全书、微积分著作中的函数定义均以欧拉的两个定义为蓝本，解析式定义在1840年以前占统治地位，而在1840年以后逐渐退出历史舞台。

（2）19世纪中叶以前，柯西、傅里叶、狄利克雷和黎曼相继突破了欧拉定义的局限，但在相当长时间内，旧定义依然流行，现代定义从诞生到被普遍接受，经历曲折艰难的过程。

（3）历史上，函数定义在微积分、代数学教科书中表现出滞后现象。

（4）中文“函数”名称源于函数的“解析式”定义，其诞生具有一定的历史偶然性。