Question

数列(an）的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n为正整数） 求数列（nan)的前n项和Tn

Answer 1

1、
因为a(n+1)=2Sn
所以2an=2(Sn-S(n-1))=2Sn-2S(n-1)=2a(n+1)-2an
得4an=2a(n+1),既a(n+1)=2an
因此{an}为首项1公比2的等比数列
an=2^(n-1)
2、
因为nan=n*2^(n-1)
所以Tn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+4*2^3+...+n*2^(n-1)
等号两边乘2
2Tn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+...+n*2^n
所以Tn=2Tn-Tn
=[1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+...+n*2^n]
-[1*2^0+2*2^1+3*2^2+4*2^3+...+n*2^(n-1)]
=-(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^(n-1)]+n*2^n
=-(2^n-1)+n*2^n
=1+(n-1)*2^n