Question

概率密度与分布函数

Answer 1

对于 离散型 随机变量，我们使用 分布律 来描述它的概率分布情况
对于 连续型 随机变量，我们使用 概率密度函数 来描述它的概率分布情况

定义2.3.1:

则称X为连续随机变量， 为X的概率密度函数，简称概率密度

性质:

所有可能的概率之和必为 1

连续型随机变量取任意一点的值的概率为零:

令 得上式右端趋进于零，所以

因为积分表示的是面积，所以在某个点的积分是 0
所以

连续性随机变量X落在区间 上的概率都相等

1.均匀分布

2.指数分布

3.正态分布

特别的，称函数 的正态分布N(0,1)为标准正态分布，记：

定理：

设X是一随机变量，称函数

为X 的分布函数

性质

1.对任意实数 ，总有 (单调不减性)，并且

2.对任意实数x,总有 (有界性)

3.对于离散型随机变量X，有

离散型随机变量函数的分布

例2.4.1:
设随机变量X有如下的概率分布

求 的概率分布

连续型随机变量函数的分布

对于连续型随机变量X，求 的概率密度函数的方法是：
根据分布函数的定义先求 的分布函数

然后求上式对y的导数，得到Y的概率密度函数

反常积分求导公式：