Question

求微分方程y"+3y'+2y=xe^(-x)的通解

Answer 1

你这是一个二阶常微分方程
特征方程
a^2+3a+2=0 解得特征根 a=-1 a=-2
所以齐次方程y"+3y'+2y=0 的通解~y=C1*e^(-x)+ C2*e^(-2x) C1,C2为任意常数
应为-1为特征根所以设 特解得形式为 y*=x(Ax+B)e^(-x)
y*'=(2Ax+B)e^(-x)-(Ax^2+Bx)e^(-x)=(-Ax^2-Bx+2Ax+B)e^(-x)
y*''=(-2Ax-B+2A)e^(-x)-(-Ax^2-Bx+2Ax+B)e^(-x)=(Ax^2+Bx-4Ax-2B+2A)e^(-x)
代入原方程解得A=1/2 B=-1
所以特解y*=[(1/2)x^2-x]e^(-x)
所以通解y=~y+y*=C1*e^(-x)+ C2*e^(-2x)+[(1/2)x^2-x]e^(-x) C1,C2为任意常数