Question

依概率收敛

Answer 1

我们在高等数学中学过收敛的概念，比如数列 收敛于 ，有 。
它的含义是当n越来越大时， 与 可以无限接近。无限接近的意思只要n越来越大，那么 与 的距离可以任意小，这里不再写出对应的 定义。

再来看什么是随机变量序列 ，首先这个 是怎么产生的？
以抛硬币为例：设 为n次试验中正面出现的频率，
当n变化时就形成一个随机变量序列
表示一次试验中正面出现的频率，则有

的取值为0,1/2,1三个值，
…
的取值有n+1个，即：

也就是说不管n多大，取1或0的概率是存在的，所以 与 中的任意一个数都不会随着n的增大而变的任意小，比如下式是错误的：

为什么呢?
上式根据收敛的定义是随着n的增大， 与 可以任意接近，可能吗？

当然不可能，因为不管n多大， 都有可能取1或者0，
所以 怎能与 无限接近呢？
所以 这个n次试验正面频率稳定于1/2附近是不能用上式表达的。

但考察如下概率:

所以随着n的增大， 取两侧值的概率越来越小,取值集中的概率越来越大，故可以如下结论：
对 ，有

即虽然当n很大时，X_{n}可能会零星的出现等于1的情况，但是概率非常小，是趋于0的，故称为依概率收敛。