小升初奥数鸡兔同笼问题多种解决办法
2017小升初奥数鸡兔同笼问题多种解决办法
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有十四头，下有三十八足，问雉兔各几何?要解决此题，应该说很容易，那如何快速高效呢?又能理清其中的关系，讲明道理何在吗?下面一起来看看鸡兔同笼问题的解决方法吧!
【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的`问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)
假设全都是兔，则有鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)
假设全都是兔，则有鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)
【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡;如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡?
解假设35只全为兔，则鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)
兔数=35-23=12(只)
也可以先假设35只全为鸡，则兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)
鸡数=35-12=23(只)
答：有鸡23只，有兔12只。
例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩?
解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)
答：白菜地有10亩。
例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?
解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有
作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)
日记本数=45-15=30(本)
答：作业本有15本，日记本有30本。
例4 (第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只?
解假设100只全都是鸡，则有
兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)
鸡数=100-20=80(只)
答：有鸡80只，有兔20只。
例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人?
解假设全为大和尚，则共吃馍(3×100)个，比实际多吃(3×100-100)个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此，共有小和尚(3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)
共有大和尚100-75=25(人)
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
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