Question

琴生不等式的定义? 琴生不等式的定义是什么?给1、2个例子.

Answer 1

琴生不等式：（注意前提、等号成立条件）
　　设f(x)为上凸函数,则f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）.
　　加权形式为：
　　f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中
　　ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
　　凸函数的概念：
　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数,或下凸函数.
　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2=f((x1+x2+...+xn)/n)
　　对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2
　　>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)
　　=f((x1+x2+...+xn)/n)
　　所以对于所有2的幂,琴生不等式成立.
　　现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂,我们可以找到一个k,使得2^k>n
　　然后我们设
　　x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n
　　代入2^k阶的琴生不等式结论,整理后就可以得到结论.
　　现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式
　　(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2
　　显然,我们可以查看函数f(x)=x^2
　　由于
　　(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2
　　所以f(x)=x^2是凹函数
　　所以我们可以得到,对于任意x1,x2,...,xn,
　　有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)
　　也就是n阶平方平均不等式.
　　从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦.
　　不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论.
　　如果f(x)二阶可导,而且f''(x)>=0,那么f(x)是凹函数
　　如果f(x)二阶可导,而且f''(x)=((x1+x2+...+xn)/n)^t,(t>1时）
　　ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n