Question

已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点,

Answer 1

考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】
（1）证△BFQ≌△AEQ即可；
（2）证△FBQ≌△DAQ,推出QF=QD,根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；
（3）证△AEQ≌△BDQ,推出DQ=QE,根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
（1）AE∥BF,QE=QF,
理由是：如图1,∵Q为AB中点,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ,
在△BFQ和△AEQ中
∠BFQ=∠AEQ
∠BQF=∠AQE
BQ=AQ
∴△BFQ≌△AEQ（AAS）,
∴QE=QF,
故答案为：AE∥BF,QE=QF．
（2）QE=QF,
证明：如图2,延长FQ交AE于D,
∵AE∥BF,
∴∠QAD=∠FBQ,
在△FBQ和△DAQ中
∠FBQ=∠DAQ
AQ=BQ
∠BQF=∠AQD
∴△FBQ≌△DAQ（ASA）,
∴QF=QD,
∵AE⊥CP,
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线,
∴QE=QF=QD,
即QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立,
证明：如图3,
延长EQ、FB交于D,
∵AE∥BF,
∴∠1=∠D,
在△AQE和△BQD中
∠1=∠Q
∠2=∠3
AQ=BQ
∴△AQE≌△BQD（AAS）,
∴QE=QD,
∵BF⊥CP,
∴FQ是斜边DE上的中线,
∴QE=QF．
【图】