Question

如何理解二阶导数？

Answer 1

dx、dy表示微分，当然可以拆开，
对于参数方程，x=f(t)，y=g(t)，
对于参数方程，先求微分：dx=f'(t)dt，dy=g'(t)dt，
dy/dx=g'(t)/f'(t)，
而如果先消去参数，t=fˉ¹(x)，y=g(fˉ¹(x))
dy/dx=g'(fˉ¹(x))*fˉ¹'(x)=g'(fˉ¹(x))/f'(t)=g'(t)/f'(t)，是一样的。
而二阶导数，注意是d²y/dx²
是什么意思呢？就是这里要把dy/dx看成是新的“y”，x还是等于f(t)，
所以应该这样：d(dy/dx)=[g'(t)/f'(t)]'dt=[g''(t)f'(t)-g'(t)f''(t)]/f'(t)² dt
dx=f'(t)dt
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx=[g''(t)f'(t)-g'(t)f''(t)]/f'(t)³