Question

已知函数f(x)＝2x+alnx，a∈R．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）先求出直线的斜率，因为曲线的切线垂直与直线，所以曲线的切线在该点的斜率与直线的斜率乘积为-1，即曲线在该点的导数与直线的斜率乘积为-1．（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，再讨论a的范围，根据导数求出函数的最值

（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1．
函数y=f（x）的导数为f′(x)＝−
2
x2+
a
x，
则f′（1）=-[2/1]+[a/1]，所以a=1．（5分）
（Ⅱ）f′（x）=（ax-2）/x2，x∈（0，+∞）．
①当a=0时，在区间（0，e]上f′（x）=-2/x2，此时f（x）在区间（0，e]上单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为F（e）=[2/e]．
②当[2/a]＜0，即a＜0时，在区间（0，e]上f′（x）＜0，此时f（x）在区间（0，e]上单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=[2/e]+a．
③当0＜[2/a]＜e，即a＞[2/e]时，
在区间(0，
2
a)上f′（x）＜0，此时f（x）在区间(0，
2
a)上单调递减；
在区间(
2
a，e]上f′（x）＞0，此时f（x）在区间(
2
a，e]上单调递增；
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（[2/a]）=a+aln2．
④当[2/a≥e，即0＜a≤
2
e]时，
在区间（0，e]上f′（x）≤0，此时f（x）在区间（0，e]上为单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=[2/e]+a．
综上所述，当a≤
2
e时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为[2/e]+a；
当a＞[2/e]时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为a+aln[2/a]．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 该题考查求函数的导数，以及直线垂直的位置关系，要注意讨论a的取值范围，属于中等题，不算很难