Question

根号下1+ x^2的积分是什么？

Answer 1

根号下1+x^2的积分是I=1/2*[x√(1+x²)+ln(x+√(1+x²))]+C。

令I=∫√(1+x²)dx。

=x√(1+x²)-∫x²/√(1+x²)dx。

=x√(1+x²)-∫(x²+1-1)/√(1+x²)dx。

=x√(1+x²)-∫√(1+x²)dx+∫1/√(1+x²)dx。

=x√(1+x²)-I+ln(x+√(1+x²))。

积分的基本原理：

微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出，称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。

比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。