Question

下列函数在给定区间上是否有界函数 (1)f(x)=(1-x^2)/(1+x^2 ),|x|

Answer 1

（1）f(x)=(1-x^2)/(1+x^2)=-(x^2-1)/(x^2+1)=-[(x^2+1-2)/(x^2+1)]
=-[1-2/(x^2+1)]
f'(x)=-4x/(x^2+1)^2 ,f(x)在x∈(-∞,0）为增函数
在x∈(0,∞）为减函数,f(x)max=f(0)=1
又:
lim f(x)=(1/x^2-1)/(1/x^2+1)=-1,f(x)min=-1,故f(x)有界
x→∞
（2）f(x)在3≤x≤+∞ 上连续
limf(x)=+∞所以,f(x)无界
x→+∞
要判断有界无界,只要找到f(x)所有连续的区域,f(x)在这些区域上都能够找到最大值最小值或者收敛的话,f(x)有界,反之无界.