Question

函数f（x）=[1−3x/2x+1]的值域为______．

Answer 1

解题思路：利用分离常数法求值域即可．

∵f（x）=[1−3x/2x+1]=-[3/2]+[5
2(2x+1)，
又∵
5
2(2x+1)≠0，
∴f（x）≠-
3/2]，
则函数f（x）=[1−3x/2x+1]的值域为（-∞，-[3/2]）∪（−
3
2，+∞）．
故答案为：（-∞，-[3/2]）∪（−
3
2，+∞）．

点评：
本题考点： 函数的值域．

考点点评： 高中函数值域求法有：1、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域（最值）的简单函数）；2、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）；3、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型），4、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为二次函数的形式，再利用判别式加以判断）；5、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等），6、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图象的函数来说，可以先画出其函数图象，然后利用函数图象求其值域）；7、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取 成立的条件．）；8、分离常数法（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为y=k+f（x） （k为常数）的形式）；9、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）；10、利用导数求函数的值域（若函数f（x）在（a、b）内可导，可以利用导数求得f（x）在（a、b）内的极值，然后再计算f（x）在a，b点的极限值．从而求得f（x）的值域）；11、最值法（对于闭区间[a，b]上的连续函数y=f（x），可求出y=f（x）在区间[a，b]内的极值，并与边界值f（a）、f（b）作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域）；12、构造法（根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合）；13、比例法（对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域）．