Question

二次不动点求数列通项原理

Answer 1

一、不动点的概念与性质

对于函数

，若存在实数
，使得
，则称
是函数
的（一阶）不动点。
同样地，若

，则称
是函数
的二阶不动点。容易发现，对于一阶不动点
，有
，因此一阶不动点必然是二阶不动点。
在几何上，曲线

与曲线
的交点的横坐标即为函数
的不动点。
一般地，数列

的递推式可以由公式
给出，因此可以定义递推数列的不动点：对于递推数列
，若其递推式为
，且存在实数
，使得
，则称
是数列
的不动点。
数列的不动点有什么性质呢？若从某一项

开始，数列的取值即为
，也即
，则
，
，以此类推，根据数学归纳法，可以得到当
时，
，也即数列
在
之后“不动”了。
有时候，数列

中的值可能无法取到
，但是会“接近”
，也即收敛于
。所谓“收敛”是指当
充分大时，数列
趋向于某个值
，也即
，代入递推式即可得到
。
值得注意的是，不动点也可能不存在（或者说为复数）。文章的最后将会给出一个非常有意思的例子。

二、一阶线性递推数列

所谓“一阶线性递推数列”非常常见，是指下面的这种数列：若数列

满足
，其中
，
是给定的实数，求数列
的通项公式。
一般来说，当

时，原数列即为公差为
的等差数列，故
。
当

时，我们可以通过待定系数法构造一个公比为
的等比数列：假设存在实数
，使得
，展开得到
，解得
。
因此数列

是等比数列，累乘得
，移项后即可得到通项公式为
，其中
。
事实上，上面得到的

非常特殊：可以发现
满足方程
，也即
是数列
的不动点。这便可以给我们启发：形如
的递推数列，在处理的时候可以分以下两种情况：
（1）

，可以求出它的不动点
，之后
为等比数列；
（2）

，此时不动点不存在，
是等差数列。
并且由上面的例子得到启发，在数列的递推式两边减去不动点，可以得到较为特殊的结构。

接下来来看一个比较简单的例子：

例1 设数列

满足
，
，求数列
的通项公式。
解 令

，解得不动点
，因此变形得到
。
也即

是等比数列，且
，累乘得
，因此
。
由此看来，不动点法虽然可以说是“花里胡哨”的方法，但是在解决问题时比待定系数法直接得多。

三、分式递推数列

接下来我们来看分式递推数列，这也是不动点法主要应用的范围。所谓分式递推数列是指以下类型：若数列

满足
，其中
，
，
，
是给定的实数，求数列
的通项公式。
这时候要求它的不动点，考虑方程

，得到了一个二次方程！情况就比上面的题目复杂得多了。我们从几个例子出发：
例2 设数列

满足
，
，求数列
的通项公式。
考虑方程

，故
是数列
的不动点，根据上面的思路，尝试在递推式两边同时减去
，得到
。
注意到左右两边分别出现了

和
这样相似的结构，并且都是在分母，我们可以尝试构造新数列
，当然也可以直接变形：

也即

，因此数列
是首项为
，公差为
的等差数列，累加得
，因此
。
例3 设数列

满足
，
，求数列
的通项公式。
同样地，考虑方程

，这时候数列
有两个不动点
和
，分别在递推式两边减去
和
后，可以得到：
，
。
两式相除得

，因此数列
是首项为
，公比为
的等比数列，累乘得
，因此
。
做一个小小的总结：形如

的递推数列，处理时也可以分两种情况：
（1）若其有一个不动点

，则
是等差数列；
（2）若其有两个不动点

，
，则
是等比数列。
当然，分式递推数列不只有上面那种简单的情况，可以看下面这个例子：

例4 设数列

满足
，
，求数列
的通项公式。
事实上，

，这不同于上面的类型，但是否可以用同样的方法处理呢？
同样尝试求它的不动点：

，因此
和
是数列
的两个不动点，变形得到：
，
。
两式相除得

，又
，迭代得到
，由此解得数列的通项公式
。
由此看来，对于比较复杂的分式型递推数列，也可以通过减去不动点来进行代数变形，从而使等式的两边出现类似的结构，更易于处理。

Answer 2

二次不动点求数列通项原理：不动点法求数列通项原理是不动点是使f(x)=x的x值,设不动点为x0,则f(x0)-x0=0,即x是f(x)-x0=0的根,所以f(x)-x0因式分解时有x-x0这个因子,对数列有a(n+1)=f（an）,两边同时减去不动点x0有a(n+1)-x0=f（an）-x0,f（an）-x0只不过是把x换成了an,所以f（an）-x0有an-x0这个因子,所以a(n+1)-x0=（an-x0）*g（an）,减去不动点后两边出现了形式相同的项an-x0,g（an）则相当于公比。

Answer 3

1.适用条件：
形如a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D),A,C不为0的分式递推式，且分式型上下都是一次。
2.方法：令a(n+1)=an=x,代入原式化为关于x的二次方程。
(1)若方程的两根x1不等于x2,则{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列,公比是两项的商 。
(2)若两根x1=x2,则{1/(an-x1)}为等差数列。（3）若无解，可以尝试其他方法。
参考：百度教育。

Answer 4

容易发现，对于一阶不动点，有因此一阶不动点必然是二阶不动点。
在几何上，曲线与曲线的交点的横坐标即为函数的不动点。