Question

图中画波浪线的步骤中，f(x)的积分区域在题目中是[0,x]，为什么在这里变成了[t,π]呢？

Answer 1

这题出的挺不错的，因为直接积分根本算不出来，里面的不定积分无法用初等函数来表示《数学分析上册》第五版华东师范大学第八章第三节习题上方

他这题目考察的是二重积分交换积分顺序时被积区域的表示问题
对于平面中有限区域上的一个二重积分，需要两个维度（我以你这里的图形为例，用x和t）描述这个有限区域。
外层积分只描述它的取值范围（下坐标到上坐标，由小到大），而内层积分的描述分两步获得，第一步在外层积分的取值范围上任取一条与内层积分坐标轴正轴方向一致的射线，2.观察这条射线与上述有限区域先后交点的内层积分坐标，这两个坐标依次为内层积分的下坐标和上坐标
看不懂也没关系，我以你的两个等号来具体说明，也许你就理解的更加透彻了，被积函数我就不具体写出来了
在第一个等号里面是先对t做积分，再对x做积分。积分情况是 ∫∫ dt dx， 外层积分是x，内层积分是t，按照上面的说法，那就是外层积分由小到大写取值范围，所以外层积分的下坐标是0，上坐标是pi（因为这个有限区域内的点关于x坐标最小能取到0，最大能取到pi）。内层积分t的取值范围呢，需要我们先画一条射线，射线方向与内层积分t正轴一致，范围呢必须在外层积分x的取值范围中。也就说取射线与直线x=x0重合，方向向上。当你从下到上画出这条射线时，会与积分区域有两个交点，依次是（x0,0）和（x0，x0），那么这两个点的t坐标依次为内层积分的下坐标和上坐标，分别就是0和x0，注意这里的x0是在外层积分x的取值范围内任取的，写的时候内层积分的下坐标和上坐标应该是0和x。我这里用x0只是为了区分避免混淆
下面来说一下换序的情况该怎么理解，都是一样的步骤，弄清楚内层积分和外层积分就行了。第二个等号的积分情况是 ∫∫ dx dt，外层积分是t，内层积分是x，直接写范围，外层积分的下坐标和上坐标分别是0和pi（因为这个有限区域内的点关于t坐标最小能取到0，最大能取到pi）。关键看内层积分的上下坐标如何选择，此时画射线要与内层积分坐标轴正轴方向一致，因此就是一条向右的射线，也就是你那里的图9-6，而射线t=t0，从左到右绘画的过程中会依次交出（t0，t0）和（pi，t0）两个交点，那么这两个点的x坐标依次为内层积分的下坐标和上坐标，分别是t0和pi，注意任意性问题，最后写出t和pi就好了

Answer 2

交换了积分次序！
前面的那个，你看内层是dt,明显是先对t积分，后面那个内层是dx，是先对x积分，交换积分次序，那对应的积分上下限也需要改变了。