Question

奇函数、偶函数的定义域是怎样的？

Answer 1

1、奇延拓：函数展开成正弦级数或余弦级数中有时需要把定义在[0，π]或[-π，0]上的函数f（x）展开成正弦级数或余弦级数，为此，可在（-π，0）或（0，π）上补充f（x）的定义，若有必要，可改变f（x）在点x=0的定义，如果使之成为奇函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为奇延拓；

2、偶延拓：如果使之成为偶函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为偶延拓。

奇延拓的函数：F(x)=f(x) (当0<=x<=a)，F(x)= -f(-x) (当-a<=x<0)；

偶延拓的函数：G(x)=f(x) (当0<=x<=a)，G(x)= f(-x) (当-a<=x<0)。

例1 将函数f(x)=cos(x) (当0<=x<Pi/2)，f(x)=0 (当Pi/2<=x<=Pi) 分别延拓成区间[-Pi, Pi]上的奇函数和偶函数。

解

奇延拓：F(x)=f(x) (当0<=x<=Pi)，F(x)= -f(-x) (当-Pi<=x<0)；

偶延拓：G(x)=f(x) (当0<=x<=Pi)，G(x)= f(-x) (当-Pi<=x<0)。

图形如下：

f(x)的图形：

奇延拓的图形：

偶延拓的图形：