Question

曲面积分的计算方法

Answer 1

一型曲面积分共有三种计算方法，且不需考虑正负的问题。以直角计算为主，奇偶性、对称性为辅助。

（一）直接计算法——直角坐标下

因为是在曲面上进行积分，所以曲面方程Z=Z(x, y)可以直接带入方程中。带入后消去了z，曲面积分转变成了在D（曲面在xoy上的投影）上的二重积分。

 故积分表达式可化为

（二）利用奇偶性

被积函数若是关于x的奇函数，且积分曲面关于yoz前后对称，那么该积分等于0；

若被积函数若是关于x的偶函数，且积分曲面关于yoz前后对称，那么该积分等于二倍的对yoz前边曲面上的积分。若对于y、z也有奇偶性，同理。

（三）利用对称性（轮换性）

若积分曲面x，y，z位置可以对调，积分函数内x，y，z也可以互换，最后积分结果不变。