Question

在直角坐标系中，

Answer 1

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问题描述:

在直角坐标系中，01、O2在x轴上，园O1、园02外切于原点O，直线AB分别切园O1于B点、切园02于A点，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M，延长BO交园O2于D，且OB：OD=1：3。 （1）求园O2的半径的长。 （2）求直线AB的解析式。(3)在直线AB上是否存在点P，使三角形MO2P相似于三角形MOB，若存在求出点P的坐标，若不存在说明理由。

解析:

(1)园O2的半径的长=2√3

(2)直线AB的解析式:y=(√3/3)x+2

(3)直线AB上存在点P，使三角形MO2P相似于三角形MOB，

这点和A点重合，坐标为（√3，3）。

解题思路：

（1）过点O1作O2A的垂线，垂足为H.

三角形O1O2H是直角三角形。利用勾股定理易得：

(r1+r2)^2=(r2-r1）^2+O1H^2

O1H=AB=4

所以r1*r2=4

另有：OB：OD=2r1：2r2=1：3（利用平行或三角形相似可以证得）

所以：r1=（2/3）√3；r2=2√3

（2）由（1）的数据可得O2H=1/2OO2,角HOO2=30

所以角M=30度，

O1M=2*O1B=4/3)√3,MB=2,

MA=6

A点纵坐标=1/2MA=3,

A点横坐标=√3/2*AB=√3

利用A点和C点的坐标可求出直线AB的解析式：

（3）三角形MO2P相似于三角形MOB，

有一公共角，

只需满足OM^2=BM*PM就行，

OM=2√3,MB=2,

所以MP=6

而MA=6

所以P和A重合。

A点坐标即P点坐标。