Question

柯西中值定理的条件

Answer 1

柯西中值定理的条件如下：

如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么弧段上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弧AB。拉格朗日中值定理，也简称中值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

a 推导中值公式

要点 Cauchy 中值定理 : 若F(x)，G(x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，G'(x) ≠ 0，则

∃ ξ∈(a,b)，使得 F(b)−F(a)/G(b)−G(a) = F′(ξ)G′(ξ)

当我们适当选取函数F(x)、G(x)，就可以得到新的中值公式。

b 作为函数与导数的关系

要点 由Cauchy中值定理可知,若F(x)，G(x)在某区间 I 内可导，则 ∀ x1 x2 ∈ I ，∃ξ 使得

F(x2)−F(x1)G(x2)−G(x1) = F′(ξ)G′(ξ) ( ξ 在 与x1与x2 之间)。

即Cauchy中值公式给出了函数差分比与导数比的一种关系，利用在与x1与x2之间，我们能解决

不少问题 (虽然 ξ 在 x1 x2 之间什么位置不能肯定)。

Answer 2

柯西中值定理条件如下:

一、文字表述

柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。

二、数学层面的表达

如果函数f(x) ,g(x)在区间【a,b】上满足

1. f(x),g(x)在闭区间【a,b】上连续

2. f(x),g(x)在开区间(a,b)上可导

3. f'²(x)+g'²(x)＞0

4. g(a)≠g(b)

则在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点ε，使得f'(ε)/g'(ε)＝[f(b)－f(a)]/[g(a)－g(b)]。