Question

一元二次不等式的应用

Answer 1

公式
Δ=b²-4ac

常考题型
此类题型常考已知含参一元二次不等式的解集，求满足解集的参数范围.
例题如下:
(1)已知关于x的不等式x+ax+1>0对一切xER恒成立，则a的取值范围为____
(2)已知关于x的不等式ax2+4x+3>0在 xE1+o)恒成立，则a的取值范围为____

解题思路
1.若参数在二次项位置，需要讨论参数是否为0:
当参数为0时不是一元二次不等式:当参数不为0时，是一元二次不等式。
2.对于一元二次不等式，我们可以使用以下方法：
解题.
(1) 判别式法，通过判别式判断根的情况:
(2) 因式分解法 解出两相分米讨论 ；

(2)因式分解法，解出两根分类讨论;
(3)分离参数法，形成新的函数求解:
(4)图像法，通过图像辅助求解。

解:
(1)x²+ax+1>0，对于xR恒成立，二次项系数为正，根据判别式法，易知 A=62-4ac=a2-4>0，故 aE(-∞,2U[2,+∞).
(2)①当a=0时，当x∈12，
4x+3>0成立，故a=0满足题意
②当a≠0时，由题x∈[1，+∞)恒成立，则知a>0，
此时考察一元二次函数

f(x)=ax²+4x+3对称轴x =-a分之2

对称轴x=-a分之2<0恒成立，若要满足题意，只需要f(1)大于等于0成立。
即a+7大于等于0，综上a的范围为 a属于[0,+∞)。