Question

已知f(x)=根号ax^2-ax+4对于任意的恒成立,求a的取值范围

Answer 1

解：f（x）＝√（ax^2-ax＋4）恒成立，则讨论
①当a＝0时，f（x）＝√4＝2，符合题意
②当a≠0时，ax^2-ax＋4≥0
1）当a＞0，△＝（-a）^2-4a×4≤0，即a^2-16a≤0，a（a-16）≤0，a-16≤0
∴0＜a≤16时，符合题意
2）当a＜0时，-ax^2＋ax-4≤0，△＝a^2-4×（-a）×（-4）＝a^2+16a≤0，-16≤a≤0
∴当-16≤a＜0时，符合题意
∴综合①与②所述，a的取值范围是-16≤a≤16。

Answer 2

当a=0时，显然f(x)=2，即对任意x属于R，函数是有意义的

当a≠0时，要使函数f(x)对任意x属于R有意义，即要使函数f(x)定义域为R，就要保证对于任意x属于R时g(x)=ax^2-ax+4≥0恒成立
显然当a<0时，g(x)开口向下，在R上总有g(x)<0产生，因此不符合题意
而当a>0时，g(x)开口向上，只要⊿≤0时即可保证g(x)≥0
于是有a^2-16a≤0，考虑a>0解得0<a≤16

综上，当0≤a≤16时函数f(x)对任意x属于R有意义