Question

一阶线性齐次微分方程的通解

Answer 1

一阶线性齐次微分方程的通解：

举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3

解：

∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³ 

(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx 

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)²] 

y/(x-2)=(x-2)² C   (C是积源祥分常数)         

y=(x-2)³ C(x-2)      

∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。

含义

解的特点：一阶齐次：两个解的和还是解，一个解乘以一个常数还是解；一阶非齐次：两个解的差迟告是齐次方程的解，非齐次方程的一个解加上齐次方程的一个解还是非齐次方程的雹旦搏解。

通解的结构：一阶齐次：y＝Cy1，y1是齐次方程的一个非零解；一阶非齐次：y＝y*＋Cy1，其中y*是非齐次方程的一个特解，y1是相应的齐次方程的一个非零特解。