Question

向量内积的几何意义

Answer 1

向量内积a.b代表两个向量对应坐标值相乘后相加，得到的是一个数。

数值上等于两向量长度积乘以夹角的余弦几何上的应用：可以求两向量夹角；如果两向量内积为零，说明两向量垂直；一个向量对自己内积开方后是该向量长度向量外积a×b得到的是一个向量，一个行列式，以三维向量为例，等于|i   j   k ||a1  a2  a3||b1  b2  b3|长度数值上等于两向量长度积乘以夹角的正弦，方向用右手螺旋定则确定。

物理上经常应用于求电磁力几何上的应用：两向量外积等于以两向量为邻边的平行四边形面积，方向为两向量所在平面的法线方向；外积为0，说明两向量平行。

向量积性质：

叉积的长度 |a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。 

代数规则：

1.反交换律：a×b= -b×a。

2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c。

3.与标量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)。

4.不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0。

5.分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。

6.两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。 

拉格朗日公式：

这是一个著名的公式，而且非常有用：

(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)。

a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b)。