Question

希尔伯特基定理

Answer 1

希尔伯特基定理：如果R是诺特环，那么R上单元多项式环也是诺特环。

定理可以如下翻译成代数几何的语言：域上的每个代数集都可以描述成有限多个多项式方程的公共根的集合。 希尔伯特在他对不变量环的有限生成的证明中，证明了希尔伯特基定理（在域上的多项式环这一特例）。

希尔伯特应用数学归纳法给出了一个创新的反证：他的证明并没有提供对于任一理想生成对应的有限多个多项式方程的算法；相反，它只说明了这些多项式方程存在。通过Gröbner基的方法，我们可以确定给定理想的基多项式。

应用

1、由于任何仿射簇可以写作理想的零点集，并进一步写作理想的生成元的零点集，我们可以由此推出每个仿射簇都是有限多个多项式的零点集——换言之，都是有限多个超曲面的交集。

2、如果A是有限生成的R代数，那么我们可以得出A同构于R上n元多项式环的商环。希尔伯特基定理蕴涵了必须是有限生成的理想。换言之，A是有限表现的。