Question

只用圆规怎么把圆八等分

Answer 1

1.只用一把圆规,如何把一圆分为四等分
我用两种方法

对于这个问题我们应该从古希腊三大几何问题之一的用尺规三等份任意角问题说起。

阿基米德曾经想出一个办法，他预先在直尺上记一点P，令直尺的一个端点为C。对于任意画的一个角，他以这个角的顶点O为圆心，以CP的长度为半径画半个圆.使这半个圆的两条边相交于A,B两点.

然后，阿基米德移动直尺，使C点在AO的延长线上移动.使P点在圆周上移动.当直尺正好通过B点时停止移动，将CPB三点连接起来.

接下来阿基米德将直尺沿直线CPB平行移动，使C点正好移动到O点，并作直线OD.可以检验AOD正好是原来角AOB的三分之一.也就是说，阿基米德已经将一个角分成了三等份.

但是，人们并不承认阿基米德解决了三等份角问题.为什么不承认呢？理由很简单.阿基米德预先在直尺上作了一 个 记号P，使得直尺上实际有了刻度的功能.这是一个不能允许的"犯规"动作.因为古希腊人规定： 在尺规作图法中直尺上不能有任何刻度.而且直尺与圆规都只准许使用有限次.

根据阿基米德想的这个方法，再不 "犯规"的情况下我们首先以任意长R为半径作圆O.经过圆心作一条直线并与圆的一边相交于点A. 然后，再以圆心O点为顶点作任意角BOA, B点在圆上并且直尺绕B点旋转. 用圆规再在直尺所在的直线上截取线段CD，使得CD等于R, C点圆O上.D点在直线AO 上.这样就可以检验角CDO正好是角AOB的三分之一.我想说的也并不仅这些，关于角等份问题还有好多 ，例如：

(1)同样我们以R为半径作圆O，并经过圆心O作一条直线，交圆于C,A两点.再作任意角BOA.B点在圆O 上，同时连接CB. 我们就可以得到角BCO 等于二分之一角BOA. 这个方法就可以作出一个角的两等份角.

(2)如果在CD的延长线上截取BD .使得BD等于R， 并连接DO，即角CDO等于三分之一角DOA .当我们将所有的D 点都找出来时， 它的轨迹就是一条曲线了. 而（1）所述的B点的轨迹却是一个圆.

(3)应此，我们可由（1）想到.当直尺绕 C点旋转时，同样，用圆规在直尺所在直线上截取线段DE， 使得DE等于R .D点在圆O上，E点在OB上.既我们可以知道角CEO等于三分之一角BOA .

(4)我们以同样的方法在直线上继续截取，我相信我们会有收获的.在（2）的基础上在OD的延长线上截取线段DE，使得DE等于CD.这样得到角CEO等于六分之一角DOA.

(5)在（4）的基础上在CE的延长线上截取线段EF使得EF等于CD. 这样角CFO等于十一分之一角FOA 。。 在（1）的基础上如果我们只在一条直线上 不断截取

1，在CB的延长线上截取可得到

角CDO等于三分之一角DOA 角DEO等于无分之一角EOA

角CFO等于九分之一角FOA 角CGO等于十七分之一角GOA

。。。。

2.在OB的延长线上截取可得到

角CDO等于四分之一角BOA 角CFO等于八分之一角BOA

角CFO等于十六分之一角BOA 角CGO等于三十二分之一角BOA

。。。。。。..

如果对于此种作图方法感兴趣的朋友可以继续想下去 .其中会有很多东西让我们去发现.并能和大家交流一下.
2.怎样有圆规把圆平均分成8等分
可以参考正八边形做法（和八等分圆一样）

尺规做法如下：

1.做正方形ABCD的外接圆圆O。（正方形做法 可以做两条 相互垂直的直径（用中垂线） 然后连接各交点）

2.过圆心O向任意一边（设为AB）作垂线并延长，延长线交圆弧于E。

4.然后圆规量取AE长度，再以A、C为圆心画弧，得到与圆O的交点，分别为E、F、G、H。

5.连接EAFBGCHD，即为正八边形。

用尺规的话 就这一种了