Question

机器人学基础？

用一个描述旋转或平移的变换，来左乘或者右乘一个，表示坐标系的变换所得到的结果是否相同？请说明为什么？
好回答必采纳。

Answer 1

在机器人学中，一个描述旋转或平移的变换可以表示为一个齐次变换矩阵，通常记作 $T$. 这个矩阵可以左乘或右乘一个表示空间点或向量的列向量 $p$，得到变换后的新坐标系中对应的点或向量 $p'$.

设 $T$ 表示旋转或平移变换的齐次变换矩阵， $p$ 表示一个空间点或向量的列向量，则左乘和右乘的结果分别为：

其中 $R$ 表示旋转变换的旋转矩阵， $t$ 表示平移变换的平移向量， $0^T$ 表示 $3\times 1$ 的零向量。

可以发现，左乘和右乘得到的结果是不同的，即 $T_l p \neq T_r p$. 左乘得到的新坐标系中的点或向量是 $p$ 经过 $T$ 变换后的结果，而右乘得到的是一个行向量，表示一个点在原坐标系中的坐标经过 $T$ 变换后在新坐标系中的坐标。因此，左乘和右乘得到的结果不相同。

在机器人学中，通常使用左乘的形式来表示空间点或向量在坐标系变换后的新坐标系中的坐标，即 $p' = T_l p$，而使用右乘的形式来表示从新坐标系中的坐标计算出对应的原坐标系中的坐标，即 $p = T_r p'$。这种习惯用法可以减少矩阵乘法的计算量和内存占用。

Answer 2

假设有一个向量 $(x, y)$，左乘一个旋转矩阵 $\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$（逆时针旋转 $\theta$ 弧度）可以表示为：
$$\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \ x \sin \theta + y \cos \theta \end{bmatrix}$$
右乘一个旋转矩阵可以表示为：
$$\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \cos \theta + y \sin \theta \ -x \sin \theta + y \cos \theta \end{bmatrix}$$
可以看出，左乘和右乘的结果并不相同，因为它们对应的变换顺序是不同的。左乘是先旋转再进行平移，右乘是先平移再旋转。因此，当描述旋转和平移的变换作用于坐标系时，左乘和右乘的结果是不同的。

Answer 3

在机器人学中，常常需要描述坐标系的变换。常见的坐标系变换包括平移变换和旋转变换。这些变换可以用矩阵表示，左乘或右乘一个矩阵表示坐标系的变换。对于一个二维坐标系，平移变换和旋转变换的矩阵表示如下：
平移变换：
[1 0 dx]
[0 1 dy]
[0 0 1 ]
旋转变换：
[cos(theta) -sin(theta) 0]
[sin(theta) cos(theta) 0]
[0 0 1]
其中，dx和dy表示平移的距离，theta表示旋转的角度。假设一个点在原始坐标系下的坐标为(x,y,1)，对该点进行平移变换，左乘平移矩阵得到新的坐标为(x+dx,y+dy,1)；对该点进行旋转变换，左乘旋转矩阵得到新的坐标为(xcos(theta)-ysin(theta),xsin(theta)+ycos(theta),1)。同样，对该点进行平移变换，右乘平移矩阵得到新的坐标为(x,y,1)；对该点进行旋转变换，右乘旋转矩阵得到新的坐标为(xcos(theta)+ysin(theta),-xsin(theta)+ycos(theta),1)。
可以看出，左乘和右乘得到的结果不同。这是因为左乘表示先进行变换，再对变换后的结果进行操作；右乘表示先对原始坐标进行操作，再进行变换。因此，对于坐标系的变换，应该根据需要选择左乘还是右乘。在机器人学中，通常采用左乘表示坐标系的变换。

Answer 4

假设我们有一个二维坐标系上的点 $p=(x,y)$，以及一个描述旋转或平移的变换 $T$。如果我们将 $T$ 右乘于 $p$，即 $Tp$，那么 $p$ 会被变换到新的位置上。相反地，如果我们将 $T$ 左乘于 $p$，即 $Tp$，那么 $p$ 也会被变换到新的位置上。但是，左乘和右乘的结果是不同的，除非 $T$ 是一个恒等变换。
为了说明这个问题，我们可以考虑一个简单的平移变换。假设 $T$ 表示将点 $(x,y)$ 向右平移 $1$ 个单位的变换，那么右乘 $T$ 相当于将 $p$ 变为 $(x+1,y)$，而左乘 $T$ 相当于将 $p$ 变为 $(x+1,y)$。这两个结果显然是相同的。然而，如果我们考虑将点 $(1,0)$ 右乘 $T$ 和左乘 $T$ 的结果，就会发现它们是不同的。具体来说，右乘 $T$ 后得到的点是 $(2,0)$，而左乘 $T$ 后得到的点是 $(1,0)$。这是因为左乘和右乘的顺序是不同的，即使变换 $T$ 是线性的（如旋转矩阵），它们也可能不满足交换律。
因此，左乘和右乘的结果是不同的，除非变换 $T$ 是恒等变换。在实际应用中，我们通常会选择一种特定的乘法顺序，并将其作为标准的操作方式。例如，在二维图形学中，通常使用左乘表示变换，因此我们可以将变换表示为 $p' = Tp$，其中 $p$ 表示原始点，$p'$ 表示变换后的点。
望采纳，谢谢！

Answer 5

使用平移或旋转变换来左乘或右乘一个坐标系，得到的结果是不同的。因为左乘右乘操作本质上是分别完成了坐标系从原点和原有方向，向另一点或方向的映射，这种映射本质上是不可逆的，因此右乘和左乘的结果是不一样的。