Question

面面垂直可以推出什么

Answer 1

面面垂直可以推出：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面中垂直于它们的交点的直线垂直于另一个平面；如果两个平面互相垂直，则通过第一平面中的一点并垂直于第二平面的直线在第一平面中；如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

1、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面中垂直于它们的交点的直线垂直于另一个平面。

已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α。

求证：OP⊥β。

证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。

∵α⊥β。

∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ。

∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β。

∴OP⊥β。

2、如果两个平面互相垂直，则通过第一平面中的一点并垂直于第二平面的直线在第一平面中。

已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：AB⊂α。

当A在α和β的交线外时，则B是垂足。

∵AB⊥β于B。

∴B∈β。

设α∩β=MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α。

连接AC。

∵AC⊂α。

∴AC⊥BC。

但AB⊥β，BC⊂β。

∴AB⊥BC。

即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。

但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的性质定理矛盾。

∴假设不成立，AB⊂α。

3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ。

证明：设α∩γ=a，β∩γ=b。

∵a∩b=l。

∴a与b相交。

设a∩b=P，则P∈l。

若l与γ不垂直，那么在α内过P作PA⊥a，由定理1可知PA⊥γ。

同理，在β内作PB⊥b，就有PB⊥γ。

于是过P有两条直线与γ垂直，与线面垂直的性质定理矛盾。

∴假设不成立，l⊥γ。

判定定理：

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β。

证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β。

∵a⊂α，P∈a。

∴P∈α。

即α和β有公共点P，因此α与β相交。

设α∩β=b，∵P是α和β的公共点。

∴P∈b。

过P在β内作c⊥b。

∵b⊂β，a⊥β。

∴a⊥b，垂足为P。

又c⊥b，垂足为P。

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角。

∵c⊂β。

∴a⊥c，即∠aPc=90°。

根据面对面垂直的定义，α⊥β。